Educación a través de la tecnología

La historia de Pi: es mucho más que 3,14

Ken Kaplan Executive Editor, iQ by Intel

“No es posible resolver la cuadratura del círculo”.

Es una expresión que todos escuchamos en algún momento y que, delicadamente, nos recuerda que algunas cosas son, en realidad, imposibles.

Pero, ¿qué significa?  ¿De dónde proviene esta expresión y, exactamente, por qué no podemos “resolver la cuadratura del círculo”?

Pista: Es un viejo amigo que posiblemente recuerdes bien de geometría elemental, cuyo nombre nos recuerda vagamente un producto al horno en inglés.

Pi

El Pi se calcula sobre un billón de dígitos más allá de la coma decimal. Como un fenómeno de la naturaleza, seguirá infinitamente sin repetición o patrón. Su carácter singularmente infinito hace de Pi un acertijo perfecto y una fuente de fascinación, y también el origen de la expresión: “No es posible resolver la cuadratura del círculo”.

Historia

La expresión se remonta a los matemáticos de la Antigua Grecia, en la que “resolver la cuadratura del círculo” hacía referencia a un problema que aparentemente nadie podría resolver; algunos matemáticos dedicaron toda su vida para tratar de resolverlo y no lo lograron.  El problema parece sencillo:

Dado un círculo, hallar un cuadrado equivalente al área del círculo dado.

Clásicamente, el problema se plantea como un “problema de plano”, es decir, se debe resolver solo con regla y compás.  Sin embargo, incluso el intento de resolución de este problema generó el florecimiento de nuevas maneras de practicar matemáticas en general.  Así como la introducción de las computadoras permitió a los matemáticos descargar complejos problemas y concentrarse en preguntas de una escala más macro, la exploración colectiva de la cuadratura del círculo fue un avance hacia prácticas matemáticas más sofisticadas.

Si bien el problema suscitó mucha angustia y lucha en la comunidad matemática, ayudó a los matemáticos a encontrar aproximaciones de pi sumamente precisas (¡la aproximación fue de 3,1605 ya en el año 3400 a. C.!).  Estas aproximaciones fueron una clave valiosa para los avances en arquitectura, mecánica, ingeniería y, en definitiva, la sociedad.

3,14

La popularidad del problema (sí, incluso los griegos clásicos solían hacer problemas matemáticos populares para divertirse) aumentó rápidamente después de que Anaxágoras escribió sobre él en el primer siglo a. C.  Se hace referencia al problema en numerosas obras griegas y, probablemente, debido a ello la expresión “resolver la cuadratura del círculo” sigue existiendo en nuestro lenguaje actual.

Miles de matemáticos amateurs publicaron “pruebas falsas” que decían resolver la cuadratura del círculo, dado que en esa época proporcionar una prueba de un problema clásico era la única manera de ser “famoso”.  No obstante, era claro para muchas grandes mentes matemáticas que la prueba era totalmente imposible. Por lo tanto, la pregunta más interesante era demostrar por qué era imposible.

¿Por qué es imposible resolver la cuadratura del círculo?

Para la época en la que se habían introducido los métodos algebraicos modernos, la imposibilidad de resolver el antiguo problema (Dado un círculo, hallar un cuadrado equivalente al área del círculo dado) se había reducido a una ecuación bastante simple.

Trabajemos con el círculo de la unidad o un círculo con un radio de 1.  Luego, el área de nuestro círculo es:

Para completar el problema, simplemente establecemos ese equivalente al área de un cuadrado, que, por supuesto, es el cuadrado de sus lados:

Por lo tanto, observamos que un lado del cuadrado en cuestión tiene la siguiente propiedad:

Se podría decir que es fácil.

Pero, lamentablemente, no es tan simple. Es imposible hallar un cuadrado con la longitud de un lado que es igual a la raíz cuadrada de pi, como lo supieron los matemáticos de la Grecia antigua, pero que no pudieron demostrar.

Son dos los componentes principales para proporcionar una prueba lógica de que el lado de un cuadrado no puede ser igual a la raíz cuadrada de pi y que, por lo tanto, no es posible “resolver la cuadratura de un círculo”: primero, pi es un número irracional, y segundo, es trascendente en matemáticas.

Pi es un número irracional y trascendente

En 1761, un matemático suizo llamado Lambert demostró que pi es irracional, lo que significa que nunca podrá expresarse como fracción. Este fue un paso útil, ya que es cierto que todo elemento que puede expresarse como fracción también puede dibujarse.

Pruébalo: elige una fracción, traza una línea que tenga la longitud del denominador y luego divide la línea por el numerador. Por ejemplo, toma una línea de longitud 3, divídela por dos y obtienes segmentos de línea de longitud 2/3.

También es posible hallar algunos números irracionales. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 es irracional, pero es muy fácil de hallar.  Si tienes un triángulo rectángulo con dos lados de longitud 1, tienes una hipotenusa de la longitud deseada.

La última pieza del rompecabezas imposible se resolvió cuando, en 1882, un matemático alemán, Ferdinand von Lindemann, demostró que pi es un número trascendente. En términos matemáticos, un número trascendente es aquel que no es la raíz de ningún polinomio con coeficientes racionales, lo que equivale a decir que un número trascendente es aquel que no puede resolverse.

Otra forma de pensar en los números que pueden resolverse consiste en considerarlos números que pueden representarse como la solución de una ecuación que utiliza un número finito de aplicaciones de las cinco operaciones: suma, resta, multiplicación, división y exponentes (que pueden ser una forma de multiplicación o una forma de expresar raíces cuadradas). Por ejemplo, podemos resolver la raíz cuadrada de 2 con la siguiente ecuación (derivada del triángulo mencionado anteriormente):

Un número que es la raíz de un polinomio con coeficientes racionales, es decir, uno que no es trascendente, es, básicamente, la solución de una ecuación de una sola variable en la que un lado se establece en 0. Se complica un poco más, pero en el caso de pi que es trascendente, no debe hacerlo. Todo lo que necesitamos saber es que pi no puede ser la solución de esa ecuación.

Para demostrar que pi es trascendente, von Lindemann probó que pi no puede resolverse con esa ecuación. Por lo tanto, tampoco puede resolverse con regla y compás.

O, dicho de otro modo, debido a pi, nunca podremos resolver la cuadratura del círculo.

Compartir este artículo

Temas relacionados

Educación

Leer el siguiente artículo

Read Full Story